Zenbaki konplexu

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Zenbaki arruntak ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Zenbaki osoak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Zenbaki arrazionalak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Zenbaki konplexuak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Oktonioiak ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare batez osatutako zenbakiak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:

${\displaystyle a+ib\,}$, non i unitate irudikaria ${\displaystyle i^{2}=-1}$ propietatea betetzen duena den. ${\displaystyle z=a+ib\,}$ z zenbaki konplexuaren adierazpen binomikoa da. ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$ bi zenbaki erreal dira, a: z-ren zati erreala eta b: z-ren zati irudikaria direla diogu eta ${\displaystyle a=Rez}$, ${\displaystyle y=Imz}$ idatzi ohi da.

Adibidez, hau zenbaki konplexua da: ${\displaystyle z={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}i}$, non ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ parte erreala eta ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ parte irudikaria den.

Zenbaki errealen multzoa zenbaki konplexuen parte dira. Zenbaki konplexuen multzoa ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }}$ ikurarren bidez adieraziko dugu, eta honela definitu:

${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {C} }=\{x+yi:x,y\in \mathbb {R} \}}$

Zenbaki errealen hedapen gisa, horien eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezala, polinomio orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen multzoan.

Zenbaki konplexuak, (${\displaystyle \mathbb {C} }$) notazioaren bidez izendatuak, (${\displaystyle \mathbb {R} }$) zenbaki errealen luzapen bat dira, eta aljebraikoki itxitako gorputz bat osatzen dute^[1]. Bi zenbaki-multzoen artean, ${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ betetzen da, hau da: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ hertsiki edukia dago ${\displaystyle \mathbb {C} }$-en. Zenbaki konplexuek polinomioen erro guztiak hartzen dituzte bere baitan, errealek ez bezala. Zenbaki konplexu oro zenbaki erreal baten eta zenbaki irudikari baten batura gisa adieraz daiteke (unitate irudikariaren multiplo erreala dela, ${\displaystyle i}$ letraz adierazten dena, edo forma polarrean).

Zenbaki konplexuak aljebraren lan-tresna dira, analisia, baita matematika puru eta aplikatuen adarrak analisi konplexu gisa ere, ekuazio diferentzialak; integralen kalkulua errazten du aerodinamikan, hidrodinamikan eta elektromagnetismoan, garrantzi handiko beste batzuen artean. Gainera, zenbaki konplexuak nonahi erabiltzen dira matematikan, fisikaren arlo askotan (mekanika kuantikoan batez ere) eta ingeniaritzan, bereziki elektrikoan, elektronikoan eta telekomunikazioetan uhin elektromagnetikoak eta korronte elektrikoa irudikatzeko duten erabilgarritasunagatik.

Matematikan, zenbaki horiek gorputz bat osatzen dute, eta, oro har, planoaren (plano konplexuaren) puntutzat hartzen dira. Gorputz horrek zenbaki errealak eta irudikari puruak dauzka.

1. ↑ J. V. Uspenski (profesor de la Universidad de Stanford): Teoría de ecuaciones, Limusa grupo Noriega editores. México DF. (1992) ISBN 968-18-2335-4.