Entier naturel

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En mathématiques, un entier naturel, un nombre naturel^[1],[2],[3] ou parfois simplement un naturel^[2],[3] est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en toute notation positionnelle de base entière (sans signe et sans virgule), et notamment en notation décimale positionnelle.

L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques dont l'origine remonte à l'Antiquité grecque. Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie^{[n 1]}.

Les définitions modernes d’entier naturel sont fondées sur :

• l’axiomatisation de l’arithmétique réalisée par Peano et Dedekind à la fin du XIX^e siècle ;
• la construction d’ensembles vérifiant les axiomes de l’arithmétique : Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann).

Les entiers naturels forment un ensemble, communément désigné par le sigle ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Ils s'identifient aux entiers relatifs positifs (ou nuls), ainsi qu'aux nombres rationnels positifs (ou nuls) pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs (ou nuls) de partie fractionnaire nulle.

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